在考研数学的备考过程中，每日一题是巩固知识、提升解题能力的重要方法，通过持续练习，考生可以熟悉各类题型，掌握解题技巧，同时查漏补缺，逐步建立完整的知识体系，以下是一道典型的考研数学题目及其详细解析，涵盖核心考点与解题思路，帮助考生深入理解相关知识点。
设函数 ( f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1 + x)}{x}, & x > 0, \ a + bx, & x \leq 0 \end{cases} ) 在 ( x = 0 ) 处可导，求常数 ( a ) 和 ( b ) 的值。
解析
第一步：理解题意 要求函数 ( f(x) ) 在 ( x = 0 ) 处可导，需满足两个条件：
- 函数在 ( x = 0 ) 处连续；
- 函数在 ( x = 0 ) 处的左导数与右导数存在且相等。
第二步：利用连续性求 ( a )
函数在 ( x = 0 ) 处连续，需满足 ( \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) )。
- 当 ( x \to 0^+ ) 时，( f(x) = \frac{\ln(1 + x)}{x} )，利用泰勒展开或等价无穷小，( \ln(1 + x) \sim x - \frac{x^2}{2} + o(x^2) )，
[ \lim{x \to 0^+} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim{x \to 0^+} \frac{x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x} = 1. ] - 当 ( x \to 0^- ) 时，( f(x) = a + bx )，
[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = a. ] - 函数在 ( x = 0 ) 处的函数值为 ( f(0) = a + b \cdot 0 = a )。
由连续性条件 ( \lim{x \to 0^+} f(x) = \lim{x \to 0^-} f(x) = f(0) )，得 ( a = 1 )。
第三步：利用可导性求 ( b )
函数在 ( x = 0 ) 处可导，需满足左导数 ( f'-(0) ) 与右导数 ( f'+(0) ) 相等。
-
右导数 ( f'_+(0) )：
[ f'+(0) = \lim{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim{x \to 0^+} \frac{\frac{\ln(1 + x)}{x} - 1}{x} = \lim{x \to 0^+} \frac{\ln(1 + x) - x}{x^2}. ]
利用泰勒展开 ( \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2) )，代入得：
[ \lim{x \to 0^+} \frac{(x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)) - x}{x^2} = \lim{x \to 0^+} \frac{-\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = -\frac{1}{2}. ] -
左导数 ( f'_-(0) )：
[ f'-(0) = \lim{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim{x \to 0^-} \frac{(a + bx) - a}{x} = \lim{x \to 0^-} \frac{bx}{x} = b. ]
由可导性条件 ( f'+(0) = f'-(0) )，得 ( b = -\frac{1}{2} )。
第四步：验证结果
将 ( a = 1 )、( b = -\frac{1}{2} ) 代入原函数，验证连续性与可导性：
- 连续性：( \lim{x \to 0^+} f(x) = 1 )，( \lim{x \to 0^-} f(x) = 1 )，( f(0) = 1 )，满足连续。
- 可导性：( f'+(0) = -\frac{1}{2} )，( f'-(0) = -\frac{1}{2} )，满足可导。
最终答案
[ a = \boxed{1}, \quad b = \boxed{-\dfrac{1}{2}}. ]
本题涉及以下核心考点：
- 分段函数的连续性：通过左右极限相等确定参数。
- 分段函数的可导性：通过左右导数相等确定参数。
- 极限的计算：利用等价无穷小、泰勒展开等方法简化计算。
以下是相关考点的常见题型总结：
| 考点 | 常见题型 | 解题方法 |
|---|---|---|
| 分段函数连续性 | 求参数使分段函数在分段点连续 | 计算左右极限并令其等于函数值 |
| 分段函数可导性 | 求参数使分段函数在分段点可导 | 计算左右导数并令其相等 |
| 极限计算 | 含对数、指数、三角函数的极限 | 等价无穷小替换、泰勒展开、洛必达法则 |
相关问答FAQs
问题1：分段函数在分段点可导的充要条件是什么？
解答：分段函数在分段点可导的充要条件是：
- 函数在该点连续；
- 函数在该点的左导数与右导数存在且相等。
需先验证连续性，再通过导数定义计算左右导数并比较。
问题2：在计算极限时，如何选择合适的方法（如等价无穷小、泰勒展开或洛必达法则）？
解答：选择方法需根据极限的具体形式：
- 若极限为 ( \frac{0}{0} ) 或 ( \frac{\infty}{\infty} ) 型，优先尝试洛必达法则；
- 若极限含 ( \ln(1 + x) )、( e^x - 1 ) 等形式，可用等价无穷小替换（如 ( \ln(1 + x) \sim x )）；
- 若极限为复杂函数（如含高阶项），泰勒展开更精确,能保留高阶小量。
